【論文解説】不完全情報下での市場均衡を読み解く【指数二次ガウス理論】

論文：Mean Field Equilibrium Asset Pricing Model Under Partial Observation: An Exponential Quadratic Gaussian Approach
（不完全情報下の平均場型資産価格モデル ― 指数二次ガウス過程による解析）
を分かりやすく解説・要約しました。

出典元：SSRN（2025/11/18掲載）

1. 導入 ― 「部分観測」と「平均場理論」が交わる資産価格モデル

資産価格理論では、一般に投資家はすべての情報を完全に把握している（完全情報仮定）という前提のもとで、リスクとリターンの均衡関係が導かれます。
しかし、現実の金融市場では、投資家が把握できる情報はごく一部にすぎません。

たとえば、将来のリスクプレミアム（risk premium）や期待収益率は直接観測できず、投資家は過去の株価やボラティリティなど「限られたシグナル」からそれを推定して行動します。
このような状況を部分観測（partial observation）と呼びます。

1.1 平均場理論（Mean Field Theory）の登場

さらに現代の金融市場では、無数の投資家が同時に行動するため、各投資家の判断は他の参加者の平均的行動（集団のトレンド）に影響されます。
このような「多数のエージェントの相互作用」を記述するために用いられるのが、平均場理論（Mean Field Theory）です。

平均場均衡モデル（Mean Field Equilibrium Model）では、

を同時に整合的に決定します。

1.2 本研究の焦点 ― 部分観測下の均衡形成

本論文が挑戦するのは、「投資家がリスクプレミアムを直接観測できない状況で、どのように市場均衡が成立するか」という問題です。
具体的には以下のような設定が考えられます。

• 投資家は株価

  $S_t$のみを観測し、
  背後にあるリスクプレミアム

  $\mu_t$を確率的に推定（フィルタリング）する。

• 各投資家は自らの推定結果に基づき最適投資比率を決定。

• すべての投資家の総需要が市場で釣り合うことで、均衡価格とリスクプレミアムが内生的に決まる。

このような「観測不完全 × 多数エージェント × 内生的リスク構造」という三重の複雑性を持つモデルは、従来の完全情報下モデルでは扱えなかったリアルな市場の不確実性構造を再現します。

1.3 Exponential Quadratic Gaussian（指数二次ガウス）アプローチの意義

この研究で採用されるExponential Quadratic Gaussian（EQG）アプローチは、部分観測問題を解析的に扱うための数理的手法です。
EQG構造を用いることで、投資家の効用関数（リスク回避度を表す指数型効用）とリスクプレミアムの確率過程が整合的に表現でき、
さらに線形ガウス型のフィルタリング理論（例：カルマンフィルタ）を適用する余地を残します。

このアプローチの強みは、確率制御理論・最適化・均衡条件を統一的に扱える点にあります。
結果として、部分観測下でも閉形式での解構造（解析的な均衡式）を導出できることが本論文の大きな貢献です。

1.4 研究の目的と意義

本研究の目的は、

にあります。

この枠組みは、単なる理論的抽象にとどまらず、以下のような応用的示唆を持ちます。

まとめ

投資家がすべての情報を知っているとは限らない。
不確実性の中で、彼らがどう推測し、どう動き、どんな価格を作るか――
本論文は、そのダイナミクスを「平均場理論 × 部分観測 × EQG構造」という新しい数理フレームで解明しようとしています。

2. モデル概要 ― 平均場均衡と部分観測の融合

本章では、論文の核となる「部分観測下の平均場均衡モデル（Mean Field Equilibrium under Partial Observation）」の構造を整理します。
このモデルは、多エージェントの相互作用と観測情報の制約を同時に扱う拡張型の資産価格理論です。

2.1 モデルの基本設定

市場には、無数の投資家（エージェント）が存在します。
各投資家

$i$

は、次のような2種類の資産に投資できます。

ただし、重要なのは以下の点です。

つまり、投資家は「観測ノイズを含む不完全情報下」で最適行動を決定する必要があります。

このとき、株価のダイナミクスは一般に次の確率微分方程式で表されます。

$$dS_t = S_t (\mu_t dt + \sigma dW_t)$$

2.2 部分観測と情報構造

投資家が直接観測できるのは、株価パス

$S_t$

Stのみ。
よって、非観測の

$\mu_t$

については「条件付き期待値」に基づいて推定する必要があります。

各投資家が保有する情報は、観測可能な過去の価格系列により生成されるフィルトレーション

$$\mathcal{F}_t^S = \sigma(S_s : 0 \le s \le t)$$

この情報制約下で投資家は、リスクプレミアムの推定値

$$\hat{\mu}_t = \mathbb{E}[\mu_t | \mathcal{F}_t^S]$$

を用いて最適化を行います。
この「フィルタリング」構造が、部分観測モデルの中心的要素です。

2.3 投資家の目的関数と効用最大化

各投資家は、指数型効用関数（exponential utility）を持ちます。

$$U(x) = -\exp(-\gamma x)$$

ここで

$\gamma > 0$

はリスク回避度を表します。
投資家は、次の最適制御問題を解きます。

与えられた初期資産

$X_0$ のもとで、最終時点

$T$における期待効用

 

$$\max_{\pi_t} \mathbb{E}[-\exp(-\gamma X_T)]$$ 

を最大化するようにポートフォリオ比率

$\pi_t$（株式への投資比率）を決定する。

ただし、資産の進化は

$$dX_t = rX_t dt + \pi_t (dS_t/S_t – rdt)$$

の形で与えられます。
ここで投資家は観測できない

$\mu_t$

の代わりに、推定値

$\hat{\mu}_t$

を使って意思決定します。

2.4 平均場（Mean Field）相互作用

投資家は多数存在するため、各個人の行動は他者の平均的な行動に依存します。
この「他者の平均的ポジション」を平均場（mean field）として表します。

たとえば、全投資家の平均的投資比率を

$\bar{\pi}_t$

とすれば、
リスクプレミアムは市場均衡条件によって内生的に決まります。

$$\mu_t = f(\bar{\pi}_t)$$

すなわち、投資家が推測するリスクプレミアムは、

「他の投資家がどれくらいリスク資産を保有しているか」
によって動的に変化するという構造です。

この設定により、

2.5 EQG（Exponential Quadratic Gaussian）アプローチによる解法

部分観測と平均場相互作用を同時に扱うと、最適制御問題は通常の解析では解けません。
そこで本研究では、指数二次ガウス（EQG）アプローチを用いて閉形式の均衡を導出します。

EQGアプローチのポイントは次の通り。

結果として、部分観測下でも明示的な均衡式が得られます。
投資家の行動と市場均衡を同時に記述することができるのが、このモデルの革新点です。

2.6 本モデルの位置づけ

このモデルは、以下の3つの研究分野を架橋します。

この三層統合により、現実的な不完全情報市場を理論的に再現する資産価格モデルが完成します。

第2章まとめ

本モデルは、投資家がリスクプレミアムを直接観測できないという「現実的制約」を導入しつつ、
それでも市場がどのように均衡を保つかを数学的に説明するフレームワークである。
EQGアプローチによって、解析的な均衡価格と最適戦略の導出が可能となった。

3. 部分観測下の最適戦略 ― フィルタリングと動学最適化

本章では、投資家がリスクプレミアムを直接観測できない状況下で、どのように最適な投資戦略を決定するのかを解説します。
鍵となるのは、「観測可能な株価」から「非観測のリスクプレミアム」を推定する」というフィルタリングの仕組みと、それを最適化理論に結びつける方法です。

3.1 情報制約と推定問題

投資家は、株価プロセス

$$dS_t = S_t (\mu_t dt + \sigma dW_t)$$

を観測しますが、リスクプレミアム

$\mu_t$

は直接には見えません。
よって、投資家の意思決定は「部分観測（partial observation）」の問題となります。

このとき、投資家が活用できる情報は、

$$\mathcal{F}_t^S = \sigma(S_s : 0 \le s \le t)$$

という、株価の過去履歴から生成されるフィルトレーション（情報の流れ）です。

しかし、リスクプレミアム

$\mu_t$

の背後には、
経済ファンダメンタルズや投資家の集団行動など、観測不可能な要因が存在します。
この「見えない要素」をどのように扱うかが、部分観測モデルの中心課題です。

3.2 条件付き期待値としてのフィルタリング

非観測のリスクプレミアム

$\mu_t$

​ の推定値を、次のように定義します。

$$\hat{\mu}_t = \mathbb{E}[\mu_t | \mathcal{F}_t^S]$$

これは、カルマンフィルタに相当する構造で、
投資家は「過去の価格の動き」から「現在のリスクプレミアム」を最適に推定します。

この推定値

$\hat{\mu}_t$

は、将来の期待リターンの代理変数として機能します。
つまり、投資家は「見えない真のリスクプレミアム」ではなく、「推定された期待収益率」をもとに投資比率を決定するのです。

3.3 最適制御問題の定式化

投資家の目的は、最終資産

$X_T$

XT​ の期待効用を最大化すること

$$\max_{\pi_t} \mathbb{E}\left[-\exp(-\gamma X_T)\right]$$

ただし、資産プロセスは次のように進化します。

$$dX_t = rX_t dt + \pi_t (dS_t/S_t – rdt)$$

観測できない

$\mu_t$

の代わりに、推定値

$\hat{\mu}_t$

μ^​t​ を使って制御方程式を書き換えると、

$$dX_t = rX_t dt + \pi_t (\hat{\mu}_t – r)dt + \pi_t \sigma d\hat{W}_t$$

​ここで

$\hat{W}_t$

は「観測ノイズを含む修正ブラウニアン運動」であり、
投資家がアクセスできる情報セットに基づいた確率過程です。

3.4 最適化の解 ― Exponential Quadratic Gaussian (EQG) 構造

指数型効用関数とガウス過程の組み合わせ（EQG構造）により、
この最適化問題は解析的に解くことが可能になります。

最適投資比率

$\pi_t^*$

πt∗​ は、次のように導出されます。

$$\pi_t^* = \frac{\hat{\mu}_t – r}{\gamma \sigma^2}$$

​この式は、ミーントリッヒ（mean–variance）構造を保ちながら、
「観測可能な推定リスクプレミアム

$\hat{\mu}_t$

」を使って最適ポジションを決定する点が特徴です。

つまり、投資家は完全情報下の最適戦略に似た形を維持しつつ、
リスクプレミアムを「リアルタイムで学習しながら」動的にポートフォリオを調整します。

3.5 フィルタリングの動学方程式（更新則）

推定値

$\hat{\mu}_t$

μ^​t​ は固定ではなく、
観測データの更新によって時間とともに修正されます。

この動きを表すフィルタリング方程式（カルマン型）は、

$$d\hat{\mu}_t = a(\hat{\mu}_t, t)dt + K_t (dS_t/S_t – \hat{\mu}_t dt)$$

この式は、「新しい価格情報が到着するたびに、推定リスクプレミアムを修正する」仕組みを表しています。
すなわち、投資家の行動は静的ではなく、常に学習（learning）プロセスとして動的に更新されるのです。

3.6 市場均衡条件との統合

平均場均衡の観点からは、すべての投資家の平均行動が市場のリスクプレミアムを内生的に決定します。

均衡条件は次のように書けます。

$$\mu_t = \sigma^2 \bar{\pi}_t$$

​ここで

$\bar{\pi}_t$

は、すべての投資家の平均的投資比率。
つまり、個々の最適行動が集まることで、リスクプレミアムが自己整合的に決まるという構造です。

この関係により、部分観測・推定・最適化・均衡がすべて連動します。

3.7 理論的含意

本章の結果から、次の重要な含意が導かれます。

第3章まとめ

部分観測下では、投資家はリスクプレミアムを「推定」しながら行動する。
EQGアプローチにより、推定値に基づく最適投資比率が解析的に導出され、
さらに全体の平均行動を通じてリスクプレミアムが内生的に決定される。
情報の不完全性を含めた動的均衡の枠組みが、ここで初めて体系化された。

4. 均衡価格の導出と動学特性 ― 情報不完全性が市場価格に与える影響

本章では、部分観測下で導かれる均衡価格と、情報の不完全性が価格形成に及ぼす動学的効果を分析します。
平均場均衡（Mean Field Equilibrium, MFE）の枠組みの中で、個々の投資家の学習行動がどのように市場価格へ反映されるのかが核心です。

4.1 均衡の定義と基本条件

まず、平均場均衡の基本構造を確認します。

各投資家

$i$

は、推定されたリスクプレミアム

$\hat{\mu}_t^i$

に基づき最適な投資比率を選択します。

$$\pi_t^{i*} = \frac{\hat{\mu}_t^i – r}{\gamma \sigma^2}$$

​市場全体でのリスクプレミアム

$\mu_t$

は、全投資家の平均行動により決定されます：

$$\mu_t = \sigma^2 \bar{\pi}_t = \frac{1}{N}\sum_i \sigma^2 \pi_t^{i*}$$

​ここで「平均場」仮定により、投資家数

$N \to \infty$

の極限を考えると、
各投資家の最適行動の平均が市場全体を代表するようになります。

結果として、均衡リスクプレミアムは次の固定点条件で特徴づけられます。

$$\mu_t = \sigma^2 \frac{\hat{\mu}_t – r}{\gamma \sigma^2} = \frac{1}{\gamma}(\hat{\mu}_t – r)$$

すなわち、投資家の推定行動が自己整合的に市場価格へ反映されるという構造が成立します。

4.2 部分観測による「学習ノイズ」の影響

投資家はリスクプレミアム

$\mu_t$

を正確には知らず、観測可能な価格系列からフィルタリングによって近似します。
このとき、推定誤差（学習ノイズ）が生じ、均衡価格に動的なゆらぎをもたらします。

モデル上、価格ダイナミクスは以下のように表されます。

$$dS_t = S_t (\hat{\mu}_t dt + \sigma dW_t)$$

この式において、

$\hat{\mu}_t$

は投資家の主観的推定であり、真のリスクプレミアム

$\mu_t$

と必ずしも一致しません。
その差

$${\tilde{\mu }}_t={\mu }_t-{\widehat{\mu }}_{\mathrm{t<span\; style="font-family:\; Lato,\; 游ゴシック体,\; \text{'}Yu\; Gothic\text{'},\; YuGothic,\; \text{'}ヒラギノ角ゴシック\; Pro\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; Pro\text{'},\; メイリオ,\; Meiryo,\; \text{'}ＭＳ\; Ｐゴシック\text{'},\; \text{'}MS\; PGothic\text{'},\; \text{'}sans-serif\text{'};\; font-size:\; 1.4rem;"></span>}}$$

が、「情報の不完全性」がもたらす価格変動要因（学習ノイズ）です。

結果として、市場全体のリターン構造は次のように分解できます。

$$dS_t/S_t = (\mu_t – \tilde{\mu}_t)dt + \sigma dW_t$$

​この「誤差成分」

$\tilde{\mu}_t$

は、価格のボラティリティ増幅や一時的な乖離の要因として機能します。

4.3 均衡価格の解析的表現

指数二次ガウス（Exponential Quadratic Gaussian, EQG）アプローチの利点は、
このような非線形な均衡条件でも、価格関数が解析的に導ける点にあります。

株価

$S_t$

の対数変換

$Y_t = \log S_t$

​ をとると、

$$d{Y}_t=({\widehat{\mu }}_t-\frac{1}{2}{\sigma }^2)dt+\sigma d{W}_{\mathrm{t<span\; style="font-family:\; Lato,\; 游ゴシック体,\; \text{'}Yu\; Gothic\text{'},\; YuGothic,\; \text{'}ヒラギノ角ゴシック\; Pro\text{'},\; \text{'}Hiragino\; Kaku\; Gothic\; Pro\text{'},\; メイリオ,\; Meiryo,\; \text{'}ＭＳ\; Ｐゴシック\text{'},\; \text{'}MS\; PGothic\text{'},\; \text{'}sans-serif\text{'};\; font-size:\; 1.4rem;"></span>}}$$

$\hat{\mu}_t$

のダイナミクスが線形ガウス過程に従うため、

$$\hat{\mu}_t = A_t + B_t W_t$$

​のように明示でき、結果として

$Y_t$

もガウス分布に従います。

したがって、均衡価格の期待値と分散は閉形式で表現可能です。

$$\mathbb{E}[S_t] = S_0 \exp\left( \int_0^t \mathbb{E}[\hat{\mu}_s] ds \right), \quad Var(\log S_t) = \int_0^t \sigma^2 ds$$

この結果は、部分観測のもとでも市場が確率的に安定した形で均衡を保つことを示しています。

4.4 情報構造が価格変動に与える影響

情報の非対称性（部分観測）は、次の2つのチャネルを通じて価格ダイナミクスを歪めます。

これらは、部分観測市場の特徴であり、行動ファイナンスの「情報遅延効果」にも通じます。
本モデルは、この現象を合理的期待下の学習メカニズムとして理論的に再現しています。

4.5 情報不完全性のマクロ的影響

平均場均衡の視点で見ると、投資家の推定誤差が累積的に市場全体に波及します。
すなわち、個々の学習ノイズが平均化されず、むしろ集団行動を通じて価格のボラティリティを押し上げる可能性があるのです。

定常状態における分散の導出結果は次のようになります。

$$Var(\hat{\mu}_t) = Var(\mu_t) + Var(\tilde{\mu}_t)$$

つまり、観測誤差（

$\tilde{\mu}_t$

）が残る限り、
市場全体の変動性は「真のリスクプレミアムの分散＋情報誤差の分散」として上乗せされます。

この点が、完全情報モデルとの定量的な乖離です。

4.6 理論的含意 ― 「情報の不完全さ」は市場の本質

本章の知見は、次のようにまとめられます。

これにより、従来の「完全情報・静的均衡」モデルでは説明できなかった、
市場の不安定性や短期的な過熱現象の理論的基盤が明示されました。

第4章まとめ

部分観測下では、価格は情報更新とともに常に修正される「動的均衡過程」として形成される。
情報の不完全性がボラティリティや過剰反応の源泉となり、
平均場均衡における「確率的安定性」の理論的裏付けを提供した。

関連する論文解説をもっと読みたい方は、[投資家のための最新研究論文まとめ] をチェックしてみてください。

関連記事

投資家のための最新研究論文まとめ【株式市場・金融戦略】

金融・経済論文まとめ：投資家のための最新研究【論文解説記事リンク集】 投資戦略や市場分析に役立つ最新の学術研究を、投資家視点でわかりやすく解説しました。AIやアルゴリズム取引、行動ファイナンス、市場アノマリー、規制や政策の影響など、幅広い[…]